Límite de una función en un punto
El
límite de la función f(x) en el punto x0,
es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los
originales (las x) se acercan al valor x0.
Es decir el
valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a
x0.
Vamos
a estudiar el límite de la función f(x) = x2 en el punto
x0= 2.
x |
f(x) |
---|---|
1,9 |
3,61 |
1,99 |
3,9601 |
1,999 |
3,996001 |
... |
... |
↓ |
↓ |
2 |
4 |
x |
f(x) |
---|---|
2,1 |
4.41 |
2,01 |
4,0401 |
2,001 |
4,004001 |
... |
... |
↓ |
↓ |
2 |
4 |
Tanto
si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se
acercan a 4.
Se
dice que la función f(x)
tiene
como límite el número L,
cuando x
tiende
a x0,
si fijado un número real positivo ε,
mayor que cero, existe un numero positivo δ
dependiente
de ε,
tal que, para todos los valores de x
distintos
de x0
que
cumplen la condición|x
- x0|
< δ,
se cumple que |f(x)
- L| <ε.
También
podemos definir el concepto de límite a través de entornos:
si
y sólo si, para cualquier entorno de L
que
tomemos, por pequeño que sea su radio ε,
existe un entorno de x0,
Eδ(x0),
cuyos elementos (sin contar x0),
tienen sus imágenes dentro del entorno de L,
Eε(L).
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