Pendiente de la recta tangente

La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es 
la derivada 

de la función en dicho punto.

Recta tangente a una curva en un punto

La recta tangente a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto
(a, f(a)) y 

cuya pendiente es igual a f '(a).

Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x² − 5x + 6 paralela
a la recta 

3x + y − 2 = 0.

Sea el punto de tangencia (a, f(a))

m = −3

f'(a) = 2a − 5

2a − 5 = −3a = 1

P(1, 2)

y − 2= −3 (x − 1)y = −3x + 5

(información obtenida de vitutor.com)

Definición de probabiidad

La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre
 0 y 1,que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando 
se realizaun experimento aleatorio.

Experimentos deterministas

Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado
antes de que se realicen.

Ejemplo

Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin
lugar a dudas, que la piedra bajará. Si la arrojamos hacia arriba,
 sabemos que subirá durante un determinado intervalo de tiempo;
 pero después bajará.

Experimentos aleatorios

Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado,
ya que éste depende delazar.

Ejemplos

Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá
cara o cruz.

Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado
quevamos a obtener.

Teoría de probabilidades

La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número
 a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento
aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un 
suceso es más probable que otro. Con este fin, introduciremos 
algunas 
definiciones:

Suceso

Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia
aleatoria.

Al lanzar una moneda salga cara.

Al lanzar una moneda se obtenga 4.

Espacio muestral

Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia
 aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω).

Espacio muestral de una moneda:

E = {C, X}.

Espacio muestral de un dado:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Suceso aleatorio

Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro,
 obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5.

Ejemplo

Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen
sucesivamente
 tres bolas. Calcular:

1. El espacio muestral.

E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n);
(n,n ,b);(n, n,n)}

2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.

A = {(b,b,b); (n, n,n)}

3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}.

B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n);
 (n,n ,b)}

4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}.

C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}

Esta información la hemos obtenido de la pagina web de vitutor.

Límite de una función en un punto

El límite de la función f(x) en el punto x₀, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x₀. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x₀.

Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x² en el punto x₀= 2.

x	f(x)
1,9	3,61
1,99	3,9601
1,999	3,996001
...	...
↓	↓
2	4

 

x	f(x)
2,1	4.41
2,01	4,0401
2,001	4,004001
...	...
↓	↓
2	4

Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.

Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L, cuando x tiende a x₀, si fijado un número real positivo ε, mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε, tal que, para todos los valores de x distintos de x₀ que cumplen la condición|x - x₀| < δ, se cumple que |f(x) - L| <ε.

También podemos definir el concepto de límite a través de entornos:

si y sólo si, para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un entorno de x₀, E_δ(x₀), cuyos elementos (sin contar x₀), tienen sus imágenes dentro del entorno de L, E_ε(L).